En 2010, nous avons modélisé une formule pour trouver les cotes du soumissionnaire le plus intéressé (Alpha) et du deuxième soumissionnaire le plus intéressé (Beta) participant à une vente aux enchères.
Nous avons recherché cette formule car tous les commissaires-priseurs ont vraiment besoin du plus offrant et du deuxième plus offrant.
Bien entendu, la question est: qui est le soumissionnaire le plus intéressé? Qui est le deuxième soumissionnaire le plus intéressé? Étant donné qu'avant la vente aux enchères, ces personnes sont largement inconnues du commissaire-priseur / vendeur, il est prudent de maximiser le nombre d'enchérisseurs afin de maximiser les chances d'avoir le soumissionnaire le plus intéressé et le deuxième soumissionnaire le plus intéressé.
Ce traité antérieur et les détails associés peuvent être trouvés ici: https://mikebrandlyauctioneer.wordpress.com/2010/01/12/auctioneer-looking-for-alpha-and-beta/.
De même, il y a le problème d'une grande foule sur une petite foule même s'il n'y a que deux soumissionnaires.
Nous avons discuté de ce phénomène ici: https://mikebrandlyauctioneer.wordpress.com/2016/05/31/large-auction-crowds-busy-restaurants-and-relevance/.
Aujourd'hui, nous développons notre formule précédente, notant les chances de ne pas avoir Alpha ni Beta, Alpha et pas Beta, et Beta et pas Alpha.
Tout d'abord, voici la formule des chances d'avoir à la fois Alpha et Bêta (où B ? 0):
B = nombre de soumissionnaires
X = chances d'avoir Alpha et Beta présents
X = [[[(2*B)/(B+1)]-1]* min B, 1]^ 2
Voici nos formules supplémentaires (où B ? 2):
Y = chances de ne pas avoir Alpha et Beta présents
Y = 1-[[[[(2*B)/(B+1)]-1]* min B, 1]^ 2] ou 1-X
Y1 = chances d'avoir Alpha mais pas Beta présent
Y1 = [1-[[[[(2*B)/(B+1)]-1]* min B, 1]^ 2]]/ 2 ou Y / 2
Y2 = chances d'avoir Beta mais pas Alpha présent
Y2 = [[[(2*B)/(B+1)]-1]* min B, 1]^ 2 /[[[[(2*B)/(B+1)]-1]* min B, 1]^ 2]+ 1-[[[[(2*B)/(B+1)]-1]* min B, 1]^ 2]]/ 2]-[[[(2*B)/(B+1)]-1]* min B, 1]^ 2 ou X /[X+Y1]-X
Y3 = chances de ne pas avoir Alpha ni Beta présent
Y3 = [1-[[[[(2*B)/(B+1)]-1]* min B, 1]^ 2]]/ 2 - [[[[(2*B)/(B+1)]-1]* min B, 1]^ 2]^ 2 ou Y / 2-Y2
Par conséquent, nous avons ces deux équations supplémentaires:
Y = Y1 + Y2 + Y3
X = (X + Y1) * min X, 1 * (X + Y2) * min X, 1
_________________________________________
Voici un exemple:
Si un commissaire-priseur vend un article et a 6 enchérisseurs:
Il y a 51,02% de chances (X) Alpha et Beta d'être présents.
Il y a 48,98% de chances (Y) Alpha et Beta ne soient pas présents.
Il y a 24,49% de chances (Y1) Alpha d'être présent sans Bêta.
Il y a 16,55% de chances (Y2) bêta d'être présente sans Alpha.
Il y a un 7,94% (Y3) ni Alpha ni Beta ne seront présents.
Alpha et Beta n'y sont pas tous les deux (Y) 48,98% du temps.
0,2449 (Y1) + 0,1655 (Y2) + 0,0794 (Y3) est Y ou 48,98%
Alpha est là (X + Y1) 75,51% du temps.
La bêta est là (X + Y2) 67,57% du temps.
0,7551 * min X, 1 * 0,6757 * min X, 1 est X ou 51,02%
_________________________________________
Les deux cas particuliers (pas forcément matériels) hors du champ de ces dernières formules où B = 0 ou B = 1 nécessitent une observation plus mathématique:
B = 0, X = 0%, Y = 100%, Y1 = 0%, Y2 = 0%, Y3 = 100%
Alpha est là (X + Y1) 0% du temps.
La bêta est là (X + Y2) 0% du temps.
0 * min X, 1 * 0 * min X, 1 est X ou 0%
B = 1, X = 0%, Y = 100%, Y1 = 22,22%, Y2 = 4,44%, Y3 = 73,33%
Alpha est là (X + Y1) 22,22% du temps.
La bêta est là (X + Y2) 4,44% du temps.
0,2222 * min X, 1 * 0,0444 * min X, 1 est X ou 0%
_________________________________________
Et à des fins de comparaison, voici la même chose pour B = 2, 3 et 4:
B = 2, X = 11,11%, Y = 88,89%, Y1 = 44,45%, Y2 = 8,89%, Y3 = 35,56%
Alpha est là (X + Y1) * min X, 1 55,56% du temps.
La bêta est présente (X + Y2) 20,00% du temps.
0,55 * min X, 1 * 0,20 * min X, 1 est X ou 11,11%
B = 3, X = 25,00%, Y = 75,00%, Y1 = 37,50%, Y2 = 15,00%, Y3 = 22,50%
Alpha est là (X + Y1) * min X, 1 62,50% du temps.
La bêta est là (X + Y2) 40,00% du temps.
0,6250 * min X, 1 * 0,40 * min X, 1 est X ou 25,00%
B = 4, X = 36,00%, Y = 64,00%, Y1 = 32,00%, Y2 = 16,94%, Y3 = 15,06%
Alpha est là (X + Y1) * min X, 1 68,00% du temps.
La bêta est là (X + Y2) 52,94% du temps.
0,68 * min X, 1 * 0,5294 * min X, 1 est X ou 36,00%
Comme il convient de noter, les chances d'avoir Alpha et Beta à une enchère (X) augmentent avec le nombre d'enchérisseurs (B,) mais augmentent à un de plus en plus rythme plus lent (0%, 11%, 25%, 36%, 44%, 51%, 56%, 60%, 64%, 67%, 69%, 72%, 73%, 75%, 77%, 78% , 79%…)
Une bonne leçon pour les commissaires-priseurs est qu'il est certain que les avantages d'un autre enchérisseur sont compensés par les dépenses engagées pour obtenir un tel soumissionnaire.
