In 2010 hebben we een formule gemodelleerd om de kansen te vinden van de meest geïnteresseerde bieder (Alpha) en de tweede meest geïnteresseerde bieder (Beta) die een veiling bijwonen.
We hebben naar die formule gezocht omdat alle veilingmeesters echt de hoogste bieder en de op een na hoogste bieder nodig hebben.
De vraag is natuurlijk: wie is de meest geïnteresseerde bieder? Wie is de tweede meest geïnteresseerde bieder? Aangezien deze mensen voorafgaand aan de veiling grotendeels onbekend zijn bij de veilingmeester / verkoper, is het verstandig om het aantal bieders te maximaliseren om de kans op de meest geïnteresseerde bieder en op een na meest geïnteresseerde bieder te maximaliseren.
Die eerdere verhandeling en bijbehorende details zijn hier te vinden: https://mikebrandlyauctioneer.wordpress.com/2010/01/12/auctioneer- looking-for-alpha-and-beta/.
Hieraan gerelateerd is er de kwestie van een grote menigte boven een kleine menigte, zelfs als er maar twee bieders zijn.
We hebben dit fenomeen hier besproken: https://mikebrandlyauctioneer.wordpress.com/2016/05/31/large-auction-crowds-busy-restaurants-and-relevance/.
Vandaag breiden we onze eerdere formule uit, waarbij we de kans opmerken dat we geen Alpha of Beta hebben, Alpha en niet Beta, en Beta en niet Alpha.
Ten eerste is hier de formule voor de kans om zowel Alpha als Beta te hebben (waarbij B ? 0):
B = aantal bieders
X = kansen dat Alpha en Beta aanwezig zijn
X = [[[(2*B)/(B+1)]-1]* min B, 1]^ 2
Hier zijn onze aanvullende formules (waarbij B ? 2):
Y = kansen dat Alpha en Beta niet aanwezig zijn
Y = 1-[[[[(2*B)/(B+1)]-1]* min B, 1]^ 2] of 1-X
Y1 = kansen om Alpha maar niet Beta aanwezig te hebben
Y1 = [1-[[[[(2*B)/(B+1)]-1]* min B, 1]^ 2]]/ 2 of Y / 2
Y2 = kansen om Beta maar niet Alpha aanwezig te hebben
Y2 = [[[(2*B)/(B+1)]-1]* min B, 1]^ 2 /[[[[(2*B)/(B+1)]-1]* min B, 1]^ 2]+ 1-[[[[(2*B)/(B+1)]-1]* min B, 1]^ 2]]/ 2]-[[[(2*B)/(B+1)]-1]* min B, 1]^ 2 of X /[X+Y1]-X
Y3 = kansen om geen Alpha of Beta aanwezig te hebben
Y3 = [1-[[[[(2*B)/(B+1)]-1]* min B, 1]^ 2]]/ 2 - [[[[(2*B)/(B+1)]-1]* min B, 1]^ 2]^ 2 of Y / 2-Y2
Daarom hebben we deze twee aanvullende vergelijkingen:
Y = Y1 + Y2 + Y3
X = (X + Y1) * min X, 1 * (X + Y2) * min X, 1
_________________________________________
Hier is een voorbeeld:
Als een veilingmeester één item verkoopt en 6 bieders heeft:
Er is een kans van 51,02% (X) Alpha en Beta zullen aanwezig zijn.
Er is een kans van 48,98% (Y) Alpha en Beta zullen niet aanwezig zijn.
Er is een kans van 24,49% (Y1) Alpha zal aanwezig zijn zonder Beta.
Er is een kans van 16,55% (Y2) Beta zal aanwezig zijn zonder Alpha.
Er is een 7,94% (Y3) noch Alpha noch Beta zullen aanwezig zijn.
Alpha en Beta zijn er allebei niet (Y) 48,98% van de tijd.
0,2449 (Y1) + 0,1655 (Y2) + 0,0794 (Y3) is Y of 48,98%
Alpha is er (X + Y1) 75,51% van de tijd.
Beta is er (X + Y2) 67,57% van de tijd.
0,7551 * min X, 1 * 0,6757 * min X, 1 is X of 51,02%
_________________________________________
De twee speciale gevallen (niet noodzakelijk materieel) buiten het bereik van deze laatste formules waarbij B = 0 of B = 1 vereisen meer wiskundige observatie:
B = 0, X = 0%, Y = 100%, Y1 = 0%, Y2 = 0%, Y3 = 100%
Alpha is er (X + Y1) 0% van de tijd.
Beta is er (X + Y2) 0% van de tijd.
0 * min X, 1 * 0 * min X, 1 is X of 0%
B = 1, X = 0%, Y = 100%, Y1 = 22,22%, Y2 = 4,44%, Y3 = 73,33%
Alpha is er (X + Y1) 22,22% van de tijd.
Beta is er (X + Y2) 4,44% van de tijd.
0,2222 * min X, 1 * 0,0444 * min X, 1 is X of 0%
_________________________________________
En voor vergelijkingsdoeleinden is hier hetzelfde voor B = 2, 3 en 4:
B = 2, X = 11,11%, Y = 88,89%, Y1 = 44,45%, Y2 = 8,89%, Y3 = 35,56%
Alpha is er (X + Y1) * min X, 1 55,56% van de tijd.
Beta is er (X + Y2) 20,00% van de tijd.
0,55 * min X, 1 * 0,20 * min X, 1 is X of 11,11%
B = 3, X = 25,00%, Y = 75,00%, Y1 = 37,50%, Y2 = 15,00%, Y3 = 22,50%
Alpha is er (X + Y1) * min X, 1 62,50% van de tijd.
Beta is er (X + Y2) 40,00% van de tijd.
0,6250 * min X, 1 * 0,40 * min X, 1 is X of 25,00%
B = 4, X = 36,00%, Y = 64,00%, Y1 = 32,00%, Y2 = 16,94%, Y3 = 15,06%
Alpha is aanwezig (X + Y1) * min X, 1 68,00% van de tijd.
Beta is er (X + Y2) 52,94% van de tijd.
0,68 * min X, 1 * 0,5294 * min X, 1 is X of 36,00%
Zoals opgemerkt moet worden, neemt de kans op alfa en bèta op een veiling (X) toe met het aantal bieders (B), maar neemt deze toe met een in toenemende mate langzamer tempo (0%, 11%, 25%, 36%, 44%, 51%, 56%, 60%, 64%, 67%, 69%, 72%, 73%, 75%, 77%, 78% , 79% ...)
Een goede les voor veilingmeesters is dat er een punt is dat de voordelen van nog een bieder niet opwegen tegen de kosten van het binnenhalen van een dergelijke bieder.
