I 2010 modellerede vi en formel til at finde oddsene for den mest interesserede budgiver (Alpha) og den næstinteresserede budgiver (Beta), der deltager i en auktion.
Vi søgte efter den formel, da alle auktionærer virkelig har brug for er den højstbydende og den næsthøjstbydende.
Naturligvis er spørgsmålet - hvem er den mest interesserede byder? Hvem er den næstmest interesserede budgiver? Da disse mennesker forud for auktionen stort set er ukendte for auktionæren / sælgeren, er det klogt at maksimere antallet af budgivere for at maksimere chancerne for at have den mest interesserede byder og næstmest interesserede byder.
Den tidligere afhandling og tilhørende detaljer kan findes her: https://mikebrandlyauctioneer.wordpress.com/2010/01/12/auctioneer-looking-for-alpha-and-beta/.
Tilsvarende er der spørgsmålet om et stort publikum over et lille publikum, selvom der kun er to budgivere.
Vi diskuterede dette fenominom her: https://mikebrandlyauctioneer.wordpress.com/2016/05/31/large-auction-crowds-busy-restaurants-and-relevance/.
I dag udvider vi vores tidligere formel og bemærker oddsene for ikke at have Alpha eller Beta, Alpha og ikke Beta og Beta og ikke Alpha.
For det første er her formlen for oddsene for at have både Alpha og Beta (hvor B ? 0):
B = antal bydende
X = chancer for at have Alpha og Beta til stede
X = [[[(2*B)/(B+1)]-1]* min B, 1]^ 2
Her er vores yderligere formler (hvor B ? 2):
Y = chancer for ikke at have Alpha og Beta til stede
Y = 1-[[[[(2*B)/(B+1)]-1]* min B, 1]^ 2] eller 1-X
Y1 = chancer for at have Alpha, men ikke Beta til stede
Y1 = [1-[[[[(2*B)/(B+1)]-1]* min B, 1]^ 2]]/ 2 eller Y / 2
Y2 = chancer for at have Beta, men ikke Alpha til stede
Y2 = [[[(2*B)/(B+1)]-1]* min B, 1]^ 2 /[[[[(2*B)/(B+1)]-1]* min B, 1]^ 2]+ 1-[[[[(2*B)/(B+1)]-1]* min B, 1]^ 2]]/ 2]-[[[(2*B)/(B+1)]-1]* min B, 1]^ 2 eller X /[X+Y1]-X
Y3 = chancer for ikke at have Alpha eller Beta til stede
Y3 = [1-[[[[(2*B)/(B+1)]-1]* min B, 1]^ 2]]/ 2 - [[[[(2*B)/(B+1)]-1]* min B, 1]^ 2]^ 2 eller Y / 2-Y2
Derfor har vi disse to yderligere ligninger:
Y = Y1 + Y2 + Y3
X = (X + Y1) * min X, 1 * (X + Y2) * min X, 1
_________________________________________
Her er et eksempel:
Hvis en auktionær sælger en vare og har 6 bydende:
Der er en 51,02% chance (X) Alpha og Beta vil være til stede.
Der er en 48,98% chance (Y) Alpha og Beta vil ikke være til stede.
Der er en 24,49% chance (Y1) Alpha vil være til stede uden Beta.
Der er en 16,55% chance (Y2) Beta vil være til stede uden Alpha.
Der er 7,94% (Y3) hverken Alpha eller Beta vil være til stede.
Alpha og Beta er begge ikke der (Y) 48,98% af tiden.
0.2449 (Y1) + 0.1655 (Y2) + 0.0794 (Y3) er Y eller 48.98%
Alpha er der (X + Y1) 75,51% af tiden.
Beta er der (X + Y2) 67,57% af tiden.
0,7551 * min X, 1 * 0,6757 * min X, 1 er X eller 51,02%
_________________________________________
De to specielle tilfælde (ikke nødvendigvis materielle) uden for anvendelsesområdet for disse sidste formler, hvor B = 0 eller B = 1 kræver mere matematisk observation:
B = 0, X = 0%, Y = 100%, Y1 = 0%, Y2 = 0%, Y3 = 100%
Alpha er der (X + Y1) 0% af tiden.
Beta er der (X + Y2) 0% af tiden.
0 * min X, 1 * 0 * min X, 1 er X eller 0%
B = 1, X = 0%, Y = 100%, Y1 = 22,22%, Y2 = 4,44%, Y3 = 73,33%
Alpha er der (X + Y1) 22,22% af tiden.
Beta er der (X + Y2) 4,44% af tiden.
0,2222 * min X, 1 * 0,0444 * min X, 1 er X eller 0%
_________________________________________
Og til sammenligningsformål er her det samme for B = 2, 3 og 4:
B = 2, X = 11,11%, Y = 88,89%, Y1 = 44,45%, Y2 = 8,89%, Y3 = 35,56%
Alpha er der (X + Y1) * min X, 1 55,56% af tiden.
Beta er der (X + Y2) 20,00% af tiden.
0,55 * min X, 1 * 0,20 * min X, 1 er X eller 11,11%
B = 3, X = 25,00%, Y = 75,00%, Y1 = 37,50%, Y2 = 15,00%, Y3 = 22,50%
Alpha er der (X + Y1) * min X, 1 62,50% af tiden.
Beta er der (X + Y2) 40,00% af tiden.
0,6250 * min X, 1 * 0,40 * min X, 1 er X eller 25,00%
B = 4, X = 36,00%, Y = 64,00%, Y1 = 32,00%, Y2 = 16,94%, Y3 = 15,06%
Alpha er der (X + Y1) * min X, 1 68,00% af tiden.
Beta er der (X + Y2) 52,94% af tiden.
0,68 * min X, 1 * 0,5294 * min X, 1 er X eller 36,00%
Som det skal bemærkes, stiger chancerne for at have Alpha og Beta på en auktion (X) med antallet af bydende (B,) men stiger med en i stigende grad langsommere tempo (0%, 11%, 25%, 36%, 44%, 51%, 56%, 60%, 64%, 67%, 69%, 72%, 73%, 75%, 77%, 78% , 79% ...)
En god lektion for auktionærerne er, at der er et punkt, hvor fordelene ved endnu en byder opvejes af omkostningerne ved at sikre en sådan byder.
